O Disco de Poincaré: ponto, reta e plano

Jules Henri Poincaré (1854-1912) era Engenheiro de Minas pela École Polytechnique (1875), trabalhou no Departamento de Minas até falecer. Foi Doutor em Ciências pela Universidade de Paris (1879), onde adquiriu Cátedra, e foi professor da Universidade de Sorbone. Ao contrário de outros famosos matemáticos, Poincaré se revelou um gênio na idade adulta e foi prova viva que habilidade para os números não é um pré-requisito para ser um grande matemático, pois, Poincaré não tinha habilidade para cálculos laboriosos mas é considerado um universalista em Matemática. 

O modelo de Disco de Poincaré para Geometria Hiperbólica foi criado entre 1882 e 1887. Ele faz uso da Geometria Euclidiana, mas utilizando os postulados da Geometria Hiperbólica, assim, se houver alguma inconsistência, então, também há inconsistência na Geometria Euclidiana.

Circunferências Ortogonais

Antes de apresentar o Disco de Poincaré, vamos definir circunferências ortogonais, pois é necessário para compreensão deste modelo para geometria hiperbólica.

Sejam $c$ e $d$ duas circunferências que se intersetam em dois pontos $A$ e $B$. Traçamos uma reta $s$ tangente a $c$ no ponto $A$ e a reta $t$ tangente a $d$ no ponto $A$. Dizemos que $c$ é uma circunferência ortogonal à $d$ se a reta $s$ for perpendicular a reta $t$, ver Figura A

Figura A: Circunferência $c$ é ortogonal à circunferência $d$

Ponto, reta e plano no disco de Poincaré

Sejam $\mathbb{E}$ o plano euclidiano, $O$ e $P$ pontos de $\mathbb{E}$, não necessariamente distintos, $r$ uma distância euclidiana não-nula e $d(O,P)$ a distância euclidiana entre os pontos $O$ e $P$. Definimos o plano hiperbólico ou h-plano e denominaremos por $\mathbb{H}$, o lugar geométrico dos pontos $P$ tal que $d(O,P)<r$.

$$\mathbb{H}=\{O,P\in\mathbb{E} | d(O,P)<r\}$$

Assim, a região $\mathbb{H}$ estará no interior da circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$, sendo que $\alpha$ não está contida em $\mathbb{H}$, ver Figura 1.

Figura 1: H-plano

Os pontos que estão a uma distância menor que o raio $r$ de $\alpha$ do ponto $O$ são os pontos hiperbólico ou h-pontos. Os pontos que pertencerem a $\alpha$, ou seja, que estão a uma distância $r$ do ponto $O$, são chamados de pontos ideais. Na Figura 2, $A$ é um h-ponto, pois a distância euclidiana entre os pontos $O$ e $A$ é menor que o raio $r$ de $\alpha$. O ponto $B$ não é um h-ponto $(B\notin\mathbb{H})$, pois a distância euclidiana entre os pontos $O$ e $B$ é igual a $r$, mas $B$ é um ponto ideal.

Figura 2: h-ponto $A$ e ponto ideal $B$

O ponto $O$ também é um h-ponto, pois $d(O,O)=0<r$, e, embora sejam importantes para construções no h-plano, os pontos euclidianos que estão a uma distância maior que $r$ do ponto $O$ não têm alguma denominação no Disco de Poincaré.

Existem dois tipos de retas hiperbólica ou h-retas:

1. Sejam, em $\mathbb{E}$, $\beta$ uma circunferência ortogonal a $\alpha$, os pontos $z_1$ e $z_2$, interseção entre $\alpha$ e $\beta$ e o arco $u_\beta$ formado por todos os pontos de $\beta$ que estão a uma distância euclidiana menor que $r$ do ponto $O$. No h-plano, $u_\beta$ é uma h-reta com pontos ideais $z_1$ e $z_2$. Dizemos que a h-reta $u_\beta$ é gerada pela circunferência $\beta$, ver Figura 3.

   

   Figura 3: h-reta $u_\beta$

2. Considere, em $\mathbb{E}$, a reta $\gamma$ que incide no ponto $O$, os pontos $z_3$ e $z_4$, interseção entre $\alpha$ e $\gamma$ e o segmento de reta $v_\gamma$ formado por todos os pontos de $\gamma$ que estão a uma distância menor que $r$ do ponto $O$. No h-plano, $v_\gamma$ é uma h-reta com pontos ideais $z_3$ e $z_4$. Dizemos que a h-reta $v_\gamma$ é gerada pela reta $\gamma$, ver Figura 4.

   

   Figura 4: h-reta $v_\gamma$

Em outras palavras, se a h-reta incide no ponto $O$, então ela é um diâmetro de $\alpha$. Se a h-reta não incide no ponto $O$, então ela é um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$.

Como a circunferência $\alpha$ não compõe o h-plano, mesmo sendo uma região pequena região do plano euclidiano, o h-plano é infinito, assim como suas h-retas, já que as extremidades (pontos ideais) não pertencem ao h-plano.

A seguir, temos uma construção feita no software Geogebra onde podemos observar o comportamento da h-reta $r_h$ movendo os h-pontos $A$ e $B$.

Construção realizada no Geogebra

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.